Question

【题目】已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点，O为坐标原点，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)对于抛物线上任一点Q，点P（2t，0）都满足|PQ|≥2|t|，求实数t的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)（﹣∞，]

【解析】

(1)设出过焦点F的直线l的方程，与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合，可以求出抛物线的标准方程；

(2)设出点Q坐标，根据|PQ|≥2|t|，根据点Q横坐标的取值范围，结合不等式的性质可以求出实数t的取值范围.

(1)抛物线的焦点F（，0），设直线l的方程为x＝my，

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，

可得，

则 ，

由，可得

解得p，即抛物线的方程为y2＝x；

(2)设点Q的坐标为（x0，y0），有y02＝x0，

由|PQ|≥2|t|，即2|t|，整理可得x02﹣4tx0+y02≥0，

即x02﹣4tx0+x0≥0，可得x0（x0﹣4t+1）≥0，

由x0≥0，可得x0﹣4t+1≥0，即1﹣4t≥0，可得t，

则t的取值范围是（﹣∞，].