Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有两个相异交点；
（2）若x₁，x₂，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明：方程f(x)=

f(x 1)+f(x 2)

2

必有一实根在区间 （x₁，x₂） 内；
（3）在（1）的条件下，设两交点为A、B，求线段AB长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要证明f（x）的图象与x轴有两个相异交点，只要△=b²-4ac=（a+c）²-4ac＞0即可
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，则由g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

及g（x）的图象是连续可证
（3）结合方程的根与系数关系可得AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 - 4c a

=1-

c

a

结合已知可求

解答：解：（1）证明：由a＞b＞c可得a＞0，c＜0由f（1）=0可得a+b+c=0
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²＞0
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

则g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

又g（x）的图象是连续的
∴方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

即g（x）=0必有一实根在区间（x₁，x₂）内．
（3）设f（x）=0两根为x₁，x₂
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c又a＞0
∴

c

a

＜-1-

c

a

＜1
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

又AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 - 4c a

=1-

c

a

∴

3

2

＜AB＜3
∴AB长的取值范围为（

3

2

，3）

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的相互转化，直线与曲线相交的弦长公式的应用，解题的关键是灵活应用二次函数的性质