精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(1)一个矩形的面积为8,如果此矩形的对角线长为y,一边长为x,试把y表示成x的函数.
(2)证明:函数f(x)=x2+1是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.
【答案】分析:(1)如图,先求出另一边,再用勾股定理建立等式,表示出y.
(2)用定义证明即可.由函数的解析知,可通过验证(-x)=f(x)证明函数是偶函数;用增函数的定义证明函数在在[0,+∞)上是增函数.
解答:解:(1)如图,
则:
(x>0)
(2)证明:∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴函数f(x)=x2+1是偶函数,
作取x1,x2∈[0,+∞),令x1<x2
f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2
∵x1,x2∈[0,+∞),令x1<x2
∴x1-x2
∴f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2)<0
故函数在[0,+∞)上是增函数.
综上,函数f(x)=x2+1是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.
点评:本题考查函数奇偶性的证明与函数单调性的证明,以及根据几何图形建立函数关系,求解本题关键是掌握函数奇偶性与单调性的证明方法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)一个矩形的面积为8,如果此矩形的对角线长为y,一边长为x,试把y表示成x的函数.
(2)证明:函数f(x)=x2+1是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列四个命题
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x0∈R,cosx0≤0”
②若0<a<1,则方程x2+ax-3=0只有一个实数根;
③对于任意实数x,有f(-x)=f(x),且当x>0时,f′(x)>0,则当x<0时,f′(x)<0;
④一个矩形的面积为S,周长为l,则有序实数对(6,8)可作为(S,l)取得的一组实数对,其正确命题的序号是
①③
①③
.(填所有正确的序号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网用长为20米的铁丝围成一个矩形框,设矩形的长为x,
(1)记矩形的面积为y,试将y表示为x的函数,并指出此函数的定义域;
(2)求当矩形的长和宽分别是多少时,矩形的面积y最大?并求出y的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(1)一个矩形的面积为8,如果此矩形的对角线长为y,一边长为x,试把y表示成x的函数.
(2)证明:函数f(x)=x2+1是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案