Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，试求a，b的值，
（1）并求出f（x）的单调区间
（2）在区间[-2，2]上的最大值与最小值
（3）若关于x的方程f（x）=α有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数极值的关系求得a、b值，再利用导数求出函数的单调区间；
（2）利用导数求得函数在区间[-2，2]上的最大值与最小值即可；
（3）把问题转化为求函数的极值问题解决即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
∴f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），减区间为：（-

1

3

，1）
（2）由（1）可得函数f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函数，在[-

1

3

，1）上是减函数，在[1，2]上是增函数
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函数f（x）在闭区间[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值为f（-2）=-10
（3）由（1）函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），减区间为：（-

1

3

，1），
∴当x=-

1

3

时，函数f（x）有极大值f（-

1

3

）=

5

27

，当x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=-1，
∴若关于x的方程f（x）=α有3个不同实根，则必有-1＜a＜

5

27

．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，属难题．