【题目】如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.
(1)证明平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
【答案】
(1)
证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.
∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,
∵DF∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
∵AF平面ABEF,
∴平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)
解:
由AF⊥DF,AF⊥EF,
可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角;
由CE⊥BE,BE⊥EF,
可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角.
可得∠DFE=∠CEF=60°.
∵AB∥EF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,
∴AB∥平面EFDC,
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB平面ABCD,
∴AB∥CD,
∴CD∥EF,
∴四边形EFDC为等腰梯形.
以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,
则E(0,0,0),B(0,2a,0),C( ,0, a),A(2a,2a,0),
∴ =(0,2a,0), =( ,﹣2a, a), =(﹣2a,0,0)
设平面BEC的法向量为 =(x1,y1,z1),则 ,
则 ,取 =( ,0,﹣1).
设平面ABC的法向量为 =(x2,y2,z2),则 ,
则 ,取 =(0, ,4).
设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ,则cosθ=﹣
=﹣ = ,
则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣ .
【解析】与二面角有关的立体几何综合题.(1)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC;(2)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.
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【题目】等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
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【题目】已知函数(其中a为常数).
(1)当a=1时,求f(x)在上的值域;
(2)若当x∈[0,1]时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设,是否存在正数a,使得对于区间上的任意三个实数m,n,p,都存在以f(g(m)),f(g(n)),f(g(p))为边长的三角形?若存在,试求出这样的a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).
附:.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1 , x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=log4(22x+1)+mx的图象经过点 .
(Ⅰ)求m值并判断的奇偶性;
(Ⅱ)设g(x)=log4(2x+x+a)f(x),若关于x的方程f(x)=g(x)在x∈[-2,2]上有且只有一个解,求a的取值范围.
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