Question

如图所示，在棱长为2的正方体AC₁中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B₁Q⊥D₁P，且．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求二面角C₁-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设，利用，得出关于a的方程并求解即可．
（2）分别求出平面C₁PQ、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角求二面角C₁-PQ-A大小．
解答：解：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设，
则，B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），，，
∵B₁Q⊥D₁P，
∴，
∴，
解得a=1…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（5分）
（2）设平面C₁PQ的法向量为，
∵，
又，
∴，
令c=-1，则a=b=2，…（8分）
∵为面APQ的一个法向量，
∴，而二面角为钝角
故余弦值为…（10分）
点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．