Question

已知圆O的方程为x²+y²=2，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则

PA

•

PB

的最小值为（　　）

• A．-6+4

  2

• B．-6-4

  2

• C．-8+4

  2

• D．-8-4

  2

Answer 1

分析：利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出

PA

•

PB

，利用三角函数的二倍角公式化简函数，
通过换元，再利用基本不等式求出最值．

解答：解：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|=

2

tanα

．
设y=

PA

•

PB

=|PA|•|PB|cos2α=

2

tan2α

•cos2α=

cos2α

sin2α

•2cos2α=

1+cos2α

1-cos2α

•2cos2α．
记cos2α=u，．则y=2

u(u+1)

1-u

=2×[（-u-2）+

2

1-u

]=2×[-3+（1-u）+

2

1-u 2

]≥2（-3+2

2

），
∴

PA

•

PB

的最小值为-6+4

2

，
故选A．

点评：本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．