Question

观察下表：

1，

2,3，

4,5,6,7，

8,9,10,11,12,13,14,15，

……

问：(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2 012是第几行的第几个数？

Answer 1

(1)此表第n行的第1个数为2^n－1，第n行共有2^n－1个数，依次构成公差为1的等差数列.

由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2^n－1＋(2^n－1－1)×1＝2ⁿ－1；

(2)由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为＝2^2n－2＋2^2n－3－2^n－2，或2^n－1×2^n－1＋×1＝2^2n－2＋2^2n－3－2^n－2.

(3)设2 012在此数表的第n行.

则2^n－1≤2 012≤2ⁿ－1，n∈N_＋，可得n＝11.

故2 012在此数表的第11行.

设2 012在此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为2¹⁰，

因此，2 012是第11行的第989个数.