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19.已知动点M到定点F(1,0)的距离与点M到定直线m:x=2的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设过定点A(0,2)的动直线l(斜率存在)与C相交于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆,若定点F在此圆内,求出满足条件的直线l的斜率范围.

分析 (1)设M(x,y),由题意可得:$\frac{\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,化简即可得出.
(2)设L:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为:(2k2+1)x2+8kx+6=0,△>0,由题意可得:$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$<0,化为:(1+k2)x1•x2+(2k-1)(x1+x2)+5<0,解出即可得出.

解答 解:(1)设M(x,y),由题意可得:$\frac{\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,化为:$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1.
(2)设L:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,化为:(2k2+1)x2+8kx+6=0,
当△>0时,化为${k}^{2}>\frac{3}{2}$,解得$k>\frac{\sqrt{6}}{2}$或k$<-\frac{\sqrt{6}}{2}$.①
∴x1+x2=$\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}$,x1•x2=$\frac{6}{2{k}^{2}+1}$,(*)
由题意可得:$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$<0,
∴(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,
化为:(1+k2)x1•x2+(2k-1)(x1+x2)+5<0,把(*)代入上式,解得$k<-\frac{11}{8}$,②
由①②可得:$k<-\frac{11}{8}$.

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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