Question

3．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]，a∈R，若f（x）在[a，+∞）上为减函数，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-$\frac{4}{3}$，2]
• C． （-∞，1]
• D． （-$\frac{4}{3}$，1]

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性知，g（x）=x²-2（2a-1）x+8在区间[a，+∞）上单调递增且g（x）＞0，由此列出不等式组，求出a的取值范围．

解答 解：令g（x）=x²-2（2a-1）x+8，
由题意知：g（x）在区间[a，+∞）上单调递增且g（x）＞0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤a}\\{g（a）{=a}^{2}-2a（2a-1）+8＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-\frac{4}{3}＜a＜2}\end{array}\right.$，
即-$\frac{4}{3}$＜a≤1，
所以a的取值范围是（-$\frac{4}{3}$，1]．
故选：D．

点评 本题考查了复合函数的单调性与一元二次不等式的解法与应用问题，是综合性题目．