【题目】已知平面内动点到两定点
和
的距离之和为4.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知直线和
的倾斜角均为
,直线
过坐标原点
且与曲线
相交于
,
两点,直线
过点
且与曲线
是交于
,
两点,求证:对任意
,
.
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【题目】如图,在△ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;类似地有命题:在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,若A点在平面BCD内的射影为M,则有S=S△BCM·S△BCD.上述命题是 ( )
A. 真命题
B. 增加条件“AB⊥AC”才是真命题
C. 增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题
D. 增加条件“三棱锥A-BCD是正三棱锥”才是真命题
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知分别是双曲线
的左、右焦点,过点
作垂直与
轴的直线交双曲线于
,
两点,若
为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
根据双曲线的通径求得点的坐标,将三角形
为锐角三角形,转化为
,即
,将表达式转化为含有离心率的不等式,解不等式求得离心率的取值范围.
根据双曲线的通径可知,由于三角形
为锐角三角形,结合双曲线的对称性可知
,故
,即
,即
,解得
,故离心率的取值范围是
.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法,考查双曲线的通径,考查双曲线的对称性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.本小题的主要突破口在将三角形为锐角三角形,转化为
,利用
列不等式,再将不等式转化为只含离心率的表达式,解不等式求得双曲线离心率的取值范围.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知命题:方程
有两个不相等的实数根;命题
:不等式
的解集为
.若
或
为真,
为假,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,正四棱锥中,
为底面正方形的中心,侧棱
与底面
所成的角的正切值为
.
(1)求侧面与底面
所成的二面角的大小;
(2)若是
的中点,求异面直线
与
所成角的正切值;
(3)问在棱上是否存在一点
,使
⊥侧面
,若存在,试确定点
的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
相交于
,
两点,求
的面积.
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【题目】探究与发现:为什么二次函数的图象是抛物线?我们知道,平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线,这是抛物线的定义,也是其本质特征
因此,只要说明二次函数的图象符合抛物线的本质特征,就解决了为什么二次函数
的图象是抛物线的问题
进一步讲,由抛物线与其方程之间的关系可知,如果能用适当的方式将
转化为抛物线标准方程的形式,那么就可以判定二次函数
的图象是抛物线了.下面我们就按照这个思路来展开.对二次函数式
的右边配方,得
.由函数图象平移
一般地,设
是坐标平面内的一个图形,将
上所有点按照同一方向,移动同样的长度,得到图形
,这一过程叫作图形的平移
的知识可以知道,沿向量
平移函数
的图象
如图,函数图象的形状、大小不发生任何变化,平移后图象对应的函数解析式为
,我们把它改写为
的形式
方程
,这是顶点为坐标原点,焦点为
的抛物线.这样就说明了二次函数
的图象是一条抛物线.
请根据以上阅读材料,回答下列问题:
由函数
的图象沿向量
平移,得到的图象对应的函数解析式为
,求
的坐标;
过抛物线
的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q,试探究
是否为定值?并说明理由.
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【题目】从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这些成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组
;
;第六组
,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
求成绩在区间
内的学生人数;
估计这40名学生成绩的众数和中位数.
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