A. | A-B=4 | B. | A+B=4 | C. | A-B=6 | D. | A+B=6 |
分析 讨论0<a<1和a>1,判断函数f(x)的单调性,结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可.
解答 解:f(x)=$\frac{3{a}^{x}+1}{{a}^{x}+1}$+3loga$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{3({a}^{x}+1)-2}{{a}^{x}+1}$+3loga$\frac{(x-1)+2}{1-x}$
=3-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$+3loga(-1-$\frac{2}{x-1}$),
若a>1,则-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$为增函数,3loga(-1-$\frac{2}{x-1}$)在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为增函数,
即f(x)在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为增函数,
此时函数的最大值A=f($\frac{1}{2}$),最小值B=f(-$\frac{1}{2}$),
若0<a<1,则-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$为减函数,3loga(-1-$\frac{2}{x-1}$)在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为减函数,
即f(x)在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为减函数,
此时函数的最大值A=f(-$\frac{1}{2}$),最小值B=f($\frac{1}{2}$),
则A+B=f(-$\frac{1}{2}$)+f($\frac{1}{2}$)=$\frac{3{a}^{-\frac{1}{2}}+1}{{a}^{-\frac{1}{2}}+1}$+3loga$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3loga$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3+{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3loga$\frac{1}{3}$+3loga3
=$\frac{4+4{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+3loga1
=4+0=4,
故选:B
点评 本题主要考查函数最值的应用,根据指数函数和对数函数的性质判断函数的单调性,以及利用对应的运算法则是解决本题的关键.
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A. | (-∞,-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$),($\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,+∞) | B. | (-$\sqrt{2}$,-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$),($\sqrt{2}$,+∞) | C. | (-$\sqrt{2}$,-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$),($\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,+∞) | D. | (-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$) |
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A. | x=-1 | B. | x=1 | C. | $x=\frac{1}{2}$ | D. | $x=-\frac{1}{2}$ |
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