分析 (1)求出抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,得到线段MF的中点坐标,利用中点在抛物线C上列出方程即可求解抛物线C的方程.
(2)求出直线MF的方程,与y2=x联立消去y得,求出AB坐标,即可求解距离.
解答 解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为$F({\frac{p}{2},\;0})$…(1分)
∴线段MF的中点为$({\frac{p}{4},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$…(3分)
∵线段MF的中点在抛物线C上,∴${({\frac{{\sqrt{2}}}{4}})^2}=2p×\frac{p}{4}$,∵p>0,∴$p=\frac{1}{2}$…(5分)
∴抛物线C的方程为y2=x…(6分)
(2)直线MF的方程为$\frac{x}{{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1$,即$4x+\sqrt{2}y-1=0$,…(8分)
与y2=x联立消去y得,16x2-10x+1=0…(9分)
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{8}$,…(10分)
当$x=\frac{1}{2}$时,$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$;当$x=\frac{1}{8}$时,$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$,
∴$A({\frac{1}{2},\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}),\;B({\frac{1}{8},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$或$B({\frac{1}{2},\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}),\;A({\frac{1}{8},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$
∴$|AB|=\sqrt{{{({\frac{1}{2}-\frac{1}{8}})}^2}+{{({-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}})}^2}}=\frac{9}{8}$…(12分)
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
X | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 |
y | 1.03 | 4.57 | 10.41 | 21.75 | 32.00 | 43.21 |
A. | y=log2x | B. | y=2x | C. | y=x2+2x-3 | D. | y=2x-3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①②④ | B. | ①③④ | C. | ②④ | D. | ②③ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4}{\sqrt{5}}$ | B. | $\sqrt{5}$+1 | C. | $\sqrt{5}$-1 | D. | 以上答案都不对 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
A | 7.9 | 9.0 | 8.3 | 7.8 | 8.4 | 8.9 | 9.4 | 8.3 | 8.5 | 8.5 |
B | 8.2 | 9.5 | 8.1 | 7.5 | 9.2 | 8.5 | 9.0 | 8.5 | 8.0 | 8.5 |
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