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设数列{an}是等比数列,a1=C2m+33m•Am-21,公比q是(x+
14x2
)4
的展开式中的第二项(按x的降幂排列).
(1)用n,x表示通项an与前n项和Sn
(2)若An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn,用n,x表示An
分析:第(1)问的提出是很自然的,在确定参数m和公比q时,自然需要讨论排列数、组合数的性质,此处为:
2m+3≥3m
m-2≥1
,另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意,即按x的降幂排列.以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来.
(2)在(1)中求得前n项和Sn的基础上要分两类x=1和x≠1来解答,当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,联想组合数的性质Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,很容易构造出解答An的式子及方法.当x≠1时要分两组式子分别计算得到An的值.
解答:解:(1)∵a1=C2m+33m•Am-21
2m+3≥3m
m-2≥1
∴m=3,…(2分)
(x+
1
4x2
)
4
的展开式中的同项公式知T2=
C
1
4
x4-1(
1
4x2
)=x


∴an=xn-1
∴由等比数列的求和公式得:Sn=
n,x=1
1-xn
1-x
,x≠1
…(4分)
(2)当x=1时,Sn=n,
所以:An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
又∵An=nCnn+(n-1)Cnn-1+(n-2)Cnn-2+…+Cn1+0Cn0
∴上两式相加得:2An=n(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn)=n•2n
∴An=n•2n-1
当x≠1时,Sn=
1-xn
1-x

所以有:
An=
1-x
1-x
C
1
n
+
1-x2
1-x
C
2
n
+…+
1-xn
1-x
C
n
n

=
1
1-x
[(
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
)-(x
C
1
n
+x2
C
2
n
+…+xn
C
n
n
)]

=
1
1-x
[2n-1-(1+x)n+1]
=
1
1-x
[2n-(1+x)n],

An=
n•2n-1,x=1
2n-(1+x)n
1-x
,x≠1
…(10分)
点评:本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法,二项式定理的内容.公比为参数x的等比数列前n项和的讨论.对于二项式定理的展开应用,本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列,忽略这一点将导致错误.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.
(2)若a1=7d,从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若a1=1,从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称为数列{an}的一个子数列,设数列{an}是一个首项为a1,公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5为公比为q的等比数列,求公比q的值;
(2)若a1=1,d=2,请写出一个数列{an}的无穷等比子数列{bn};
(3)若a1=7d,{cn}是数列{an}的一个无穷子数列,当c1=a2,c2=a6时,试判断{cn}能否是{an}的无穷等比子数列,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}是等比数列,a1=
1
512
,q=2
,则a4与a10的等比中项为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设数列{an}是等比数列,a1=
1
512
,q=2
,则a4与a10的等比中项为(  )
A.
1
4
B.
1
8
C.±
1
4
D.±
1
8

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科目:高中数学 来源:2010年江苏省宿迁中学高考数学模拟试卷(解析版) 题型:解答题

从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.
(2)若a1=7d,从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若a1=1,从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.

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