Question

11．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，|x-1|+|x-2|＜2，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式来解即可；
（Ⅱ）利用分段函数y=|x-1|+|x-2|，根据绝对值的意义，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）＜2即|x-1|+|x-2|＜2，原不等式可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3＜2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}$＜x≤1或1＜x＜2或2≤x＜$\frac{5}{2}$，
∴不等式的解集是{x|$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$}；
（Ⅱ）f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
故若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，则a＞1，
∴a的范围是（1，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，属于中档题．