Question

5．已知函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12，且f（a²-4）=f（2a-8），设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，（n∈N^*）若S_n=f（n），则$\frac{{S}_{n}-4a}{{a}_{n}-1}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{27}{6}$
• B． $\frac{35}{8}$
• C． $\frac{14}{3}$
• D． $\frac{37}{8}$

Answer 1

分析 由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），
解得a=1或a=-4，
当a=-1时，f（x）=x²+7x-12，数列{a_n}不是等差数列；
当a=-4时，f（x）=x²+4x，S_n=f（n）=n²+4n，
∴a₁=5，a₂=7，a_n=5+（7-5）（n-1）=2n+3，
∴$\frac{{S}_{n}-4a}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{n}^{2}+4n+16}{2n+2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）+13}{n+1}$
=$\frac{1}{2}$•[（n+1）+$\frac{13}{n+1}$+2]≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{（n+1）•\frac{13}{n+1}}$+2）=$\sqrt{13}$+1，
当且仅当n+1=$\frac{13}{n+1}$即n=$\sqrt{13}$-1时取等号，
∵n为正数，故当n=3时原式取最小值$\frac{37}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及基本不等式和不等式的性质，属中档题．