Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，

AB

=

2an+1

an

BC

，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）设cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，证明：

n

k=1

Ck＜1．

Answer 1

分析：（1）用S_n+1、S_n、S_n-1表示出

AB

和

BC

进而根据题意求得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

推断出a_n+1+1=2（a_n+1）根据等比数列的定义判断出数列{a_n+1}是等比数列．
（2）把（1）中求得a_n代入题设，求得b_n的表达式，进而可求得C_n，进而用裂项法求得答案．

解答：解：（1）由题意得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

?an+1=2an+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），又∵a₁=1，a₂=3
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
[则a_n+1=2ⁿ∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）]
（2）由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，∴bn=1+

n(n-1)

2

，
则cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，

n

k=1

Ck=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

＜1．

点评：本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项公式以及裂项法求和．