Question

已知曲线C上任意一点到两定点F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)的距离之和是4，且曲线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点，则△AOB的面积的最小值为（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、8
• D、2

Answer 1

分析：先求出曲线C的方程，可得椭圆上任意一点处的切线方程，从而可表示△AOB的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：解：∵曲线C上任意一点到两定点F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)的距离之和是4，
∴C的轨迹是以F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)为焦点的椭圆，且2a=4，c=

3

，
∴a=2，b=1，
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1，
不失一般性，设椭圆上第一象限点的坐标为（m，n），则由

x2

4

+y2=1，可得y=

1- x2 4

，
∴y′=

-x

2 4-x2

，
∴x=m时，y′=

-m

2 4-m2

，
∴切线方程为y-n=

-m

2 4-m2

(x-m)，即y-n=

-m

4n

（x-m），即

mx

4

+ny=1，
令x=0，可得y=

1

n

，令y=0，可得x=

4

m

∴△AOB的面积为

1

2

|xy|=

2

|mn|

，
∵

m2

4

+n2=1≥2

m2 4 •n2

=|mn|，
∴|mn|≤1，当且仅当m=2n时取等号，
∴△AOB的面积为

2

|mn|

≥2，
∴△AOB的面积的最小值为2．
故选D．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，确定椭圆方程是关键．