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双曲线x2-y2=a2(a>0)的左焦点F1,右焦点F2.过F1做倾斜角为α的弦BC,其中α∈(
π
4
 , 
π
2
]
,当△F2BC面积最小值为4
2
时,求a的值.
分析:由题意可得.F1(-
2
a , 0)
F2(
2
a , 0)
.设直线BC的方程为:x=my-
2
a
,其中m=cotα.代入双曲线的方程x2-y2=a2,并整理得; (m2-1)y2-2
2
may+a2=0
.设B(x1,y1),C(x2,y2)则由 y1+y2=
2
2
ma
m2-1
y1y2=
a2
m2-1
.SF2BC=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
2
a•|y1-y2|
结合α得范围可求m得范围,进而可面积得最小值,从而可求a
解答:解:.F1(-
2
a , 0)
F2(
2
a , 0)

设直线BC的方程为:x=my-
2
a
,其中m=cotα.
代入双曲线的方程x2-y2=a2,并整理得; (m2-1)y2-2
2
may+a2=0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则有; y1+y2=
2
2
ma
m2-1
y1y2=
a2
m2-1
.SF2BC=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
2
a•|y1-y2|
=
2
a•
[(y1+y2)2-4y1y2]
=
2
a•
[(
2
2
ma
m2-1
)
2
-4•
a2
m2-1
]
=2a•
1+m2
1-m2

α∈(
π
4
 , 
π
2
]
,∴0≤m<1.
当m=0时,SF2BC取得最小值2
2
a2

由条件知,2
2
a2=4
2
∵a>0,∴a=
2
点评:本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,解题中要注意在设直线方程时的设法,直线方程为:x=my-
2
a
得好处在于避免讨论,要注意掌握应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+b与圆O相切,并与双曲线交于A、B两点.向量
AB
|
AB
|
在向量
F1F2
方向的投影是p.
(1)根据条件求出b和k满足的关系式;
(2)当(
OA
OB
)p2=1
时,求直线l的方程;
(3)当(
OA
OB
)p2
=m,且满足2≤m≤4时,求△AOB面积的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.若动点M满足
F1M
=
F1A
+
F1B
+
F1O
(其中O为坐标原点),求点M的轨迹方程;

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科目:高中数学 来源: 题型:

双曲线x2-y2=1左支上一点(a,b)到其渐近线y=x的距离是
2
,则a+b的值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为
x2
20
+
y2
5
=1
x2
20
+
y2
5
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•山东)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为(  )

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