Question

（本小题满分12分）

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（I）求点的轨迹的方程；

（II）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………3分

设点的坐标为，由，有，

代入，得．           …………………………6分

（2）(法一)设直线的方程为，、，

则，．                ………………………………7分

由，得， 同理得．…………………………8分

，，则．  ………9分

由，得，．   ……………………10分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．         …………………………………12分

 (法二)①当时， 、，则，   ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．  ………………………………………7分

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．   …………………………………9分

由，得，．……………………10分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．         …………………………………12分

【解析】略