已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.
(1)a=e (2)证明略
(Ⅰ)因为,
所以.…………………………3分
因为h(x)在区间上是增函数,
所以在区间上恒成立.
若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.
又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.
所以a>1.
由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,
所以lna=1,即a=e. ………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………9分
以下证明. (※)
(※)等价于. ………………………11分
令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,……………………………13分
r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.
当x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即,
从而得到证明.…………………………………………15分
对于同理可证
所以.……………………………………16分
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分16分)已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).
(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省淄博一中高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三上学期期末考试数学文卷 题型:填空题
已知函数(a > 0,且)的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,,则的最小值为__________.
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