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已知函数a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(的导函数).

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)设Ax1y1)、Bx2y2)(x1<x2)是函数ygx)的图象上两点, 为的导函数),证明:

(1)a=e (2)证明略


解析:

(Ⅰ)因为

所以.…………………………3分

因为hx)在区间上是增函数,

所以在区间上恒成立.

若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.

存在正零点,故△=(-2lna2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.

所以a>1.

恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna2-4lna=0,

所以lna=1,即a=e. ………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是.…………9分

以下证明.      (※)

(※)等价于. ………………………11分

rx)=xlnx2xlnxx2x,……………………………13分

r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以rx)在(0,x2]上为增函数.

x1<x2时,rx1)< rx2)=0,即

从而得到证明.…………………………………………15分

对于同理可证

所以.……………………………………16分

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