Question

6．若?x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx化为a≤x²+1-$（x+\frac{1}{x}）$lnx=f（x），利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答 解：∵x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx化为a≤x²+1-$（x+\frac{1}{x}）$lnx=f（x），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$（\frac{1}{{x}^{2}}-1）$lnx，
可知：当x=1时，f′（1）=0，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=2，
∴a≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值、恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．