Question

21、已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（II）设有且仅有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，求函数f（x）的解析表达式．

Answer 1

分析：（I）由题意知f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．
（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀
所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，因为f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1．由此可推导出f（x）=x²-x+1（x∈R）．

解答：解：（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x
所以f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1
若f（0）=a，则f（a-0²+0）=a-0²+0，即f（a）=a．
（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀
所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
在上式中令x=x₀，有f（x₀）-x₀²+x₀=x₀
又因为f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1
若x₀=0，则f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x₀≠0
若x₀=1，则有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1．易验证该函数满足题设条件．
综上，所求函数为f（x）=x²-x+1（x∈R）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．