【题目】【2018湖南(长郡中学、株洲市第二中学)、江西(九江一中)等十四校高三第一次联考】已知函数(其中
且
为常数,
为自然对数的底数,
).
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若
(其中
)恒成立,求
的最小值
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 或
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为
,其导数为
.由
或
,设
,则
,分类讨论可得当
或
时,
只有
一个极值点.很明显当
时,
只有
一个极值点.当
时,
有
、
、
三个极值点.则当
或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则
,分类讨论:当
时,
,与
恒成立矛盾;当
时,只需
成立,则
,问题转化为求解
的最小值,计算可得
,即
的最小值
的最大值为
.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,其导数为
.
由或
,
设,∵
,∴当
时,
;当
时,
.
即在区间
上递增,在区间
上递减,∴
,
又当时,
,当
时,
且
恒成立.
所以,当或
时,方程
无根,函数
只有
一个极值点.
当时,方程
的根也为
,此时
的因式
恒成立,
故函数只有
一个极值点.
当时,方程
有两个根
、
且
,
,∴函数
在区间
单调递减;
单调递增;
单调递减;
单调递增,此时函数
有
、
、
三个极值点.
综上所述,当或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则对
,都有
成立.
因为,所以当
时,函数
在
上单调递增,
注意到,∴若
,有
成立,这与
恒成立矛盾;
当时,因为
在
上为减函数,且
,所以函数
在区间
上单调递增,在
上单调递减,∴
,
若对,都有
成立,则只需
成立,
,
当时,则
的最小值
,∵
,∴函数
在
上递增,在
上递减,∴
,即
的最小值
的最大值为
;
综上所述, 的最小值
的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】直角三角形中,
是
的中点,
是线段
上一个动点,且
,如图所示,沿
将
翻折至
,使得平面
平面
.
(1)当时,证明:
平面
;
(2)是否存在,使得
与平面
所成的角的正弦值是
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
上的任一点到焦点的距离最大值为3,离心率为
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为曲线
上两点,
为坐标原点,直线
的斜率分别为
,且
,求直线
被圆
截得弦长的最大值及此时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018四川南充高三第二次(3月)高考适应性考试】某校开展“翻转合作学习法”教学试验,经过一年的实践后,对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试,按照大于或等于120分为“成绩优秀”,120分以下为“成绩一般”统计,得到如下的列联表:
成绩优秀 | 成绩一般 | 合计 | |
对照班 | 20 | 90 | 110 |
翻转班 | 40 | 70 | 110 |
合计 | 60 | 160 | 220 |
(I)根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关;
(II)为了交流学习方法,从这次测试数学成绩优秀的学生中,用分层抽样方法抽出6名学生,再从这6名学生中抽3名出来交流学习方法,求至少抽到1名“对照班”学生交流的概率.
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21-50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.
(1)若与
成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为
,不获得奖学金的概率均为
,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和
的分布列及数学期望;
附:回归方程,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆
的左右顶点,点
是椭圆的上顶点,若该椭圆的焦距为
,直线
,
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线
与椭圆
交于两点
,使得以
为直径的圆经过点
?若存在,求出直线
的方程,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴正方向建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程是
(
为参数).
(Ⅰ)将曲线的参数方程化为普通方程;
(Ⅱ)求曲线与曲线
交点的极坐标.
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