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(本小题满分14分)
已知x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x+11的一个极值点.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.

(1)∵f′(x)=+2x-12,
∴f′(4)=+8-12=0
因此a=16  ……………………………………………3分
(2)由(1)知,
f(x)=16lnx+x2-12x+11,x∈(0,+∞)
f′(x)=…………………………5分
当x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)>0
当x∈(2,4)时,f′(x)<0……………………………………………7分
所以f(x)的单调增区间是(0,2),(4,+∞)
f(x)的单凋减区间是(2,4) ……………………………………………………………………8分
(3)由(2)知,f(x)在(0,2)内单调增加,在(2,4)内单调减少,在(4,+∞)上单调增加,且当x=2或x=4时,f′(x)=0
所以f(x)的极大值为f(2)=16ln2-9,极小值为f(4)=32ln2-21
因此f(16)=16ln16+162-12×16+11>16ln2-9=f(2)
f(e-2)<-32+11=-21<f(4)
所以在f(x)的三个单调区间(0,2),(2,4) ,(4,+∞)内,直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点,
当且仅当f(4)<b<f(2)成立………………………………………………………………………………13分
因此,b的取值范围为(32 ln2-21,16ln2-9). …………………………………………………………14分

解析

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