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在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN
必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标;
(3)实际上,第(2)小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线,请你对抛物线y2=2px(p>0)写出一个更一般的结论,并加以证明.
【答案】分析:(1)由题意得,c=2,故a2-b2=4,又椭圆过点(2,),代入椭圆方程,列方程求解即可.
(2)设出直线QA的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,表示出点M的坐标,同理,表示出点N的坐标,然后讨论直线MN与x轴的交点是否为定点.
(3)类比(2)中的结论,将椭圆改成抛物线,证明与(2)类似:设出P、M的坐标,利用直线OP的方程与抛物线方程联立,求出点N的坐标,进而求出MN的方程,从而MN与x轴的交点可求.
解答:解:(1)依题意,椭圆过点(2,),故,a2-b2=4,解得a2=9,b2=5,故椭圆C的方程为
(2)设Q(9,m),直线QA的方程为y=(x+3),代入椭圆方程,整理得(80+m2)x2+6x+9m2-720=0,
设M(x1,y1),则-3x1=,解得x1=,y1=(x1+3)=,故点M的坐标为().
同理,直线QB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程,整理得(20+m2)x2-6x+9m2-180=0,
设N(x2,y2),则3x2=,解得x2=,y2=(x1-3)=-,故点M的坐标为(,-).
①若,解得m2=40,直线MN的方程为x=1,与x轴交与(1,0)点;
②若m2≠40,直线MN的方程为y+=(x-),令y=0,解得x=1,.
综上所述,直线MN必过x轴上的定点(1,0).
(3)结论:已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O,P为直线x=-q(q≠0)上一动点,过点P作X轴的平行线与抛物线交于点M,直线OP与抛物线交于点N,则直线MN必过定点(q,0).
证明:设P(-q,m),则M(,m),直线OP的方程为y=-x,代入y2=2px,得y2+y=0,可求得N(,-),
直线MN的方程为y-m=(x-),令y=0,解得x=q,即直线MN必过定点(q,0).
点评:本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线与抛物线的位置关系,解题时要认真审题,注意运用方程思想、分类讨论、类比等数学思想,同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力,难度较大.
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