分析:(1)f(x)在区间[-1,1]上是增函数?f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立?x
2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立,设φ(x)=x
2-ax-2,由
即可求得答案;
(2)由(1)求得-1≤a≤1,于是可求得|x
1-x
2|=
≤3,不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立?m
2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,从而可求得m的取值范围.
解答:解:(1)∵f′(x)=
=
,
∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.
设φ(x)=x
2-ax-2,则问题等价于
| φ(1)=1-a-2≤0 | φ(-1)=1+a-2≤0 |
| |
?-1≤a≤1,
∴A=[-1,1].
(2)由
=
,得x
2-ax-2=0,△=a
2+8>0,
∴x
1,x
2是方程x
2-ax-2=0的两非零实根,
∴x
1+x
2=a,x
1x
2=-2,从而|x
1-x
2|=
=
,
∵-1≤a≤1,
∴|x
1-x
2|=
≤3.
∴不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立
?m
2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立
?m
2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.
设g(t)=m
2+tm-2=mt+(m
2-2),则问题又等价于
| g(-1)=m2-m-2≥0 | g(1)=m2+m-2≥0 |
| |
?m≤-2,
∴m≥2,即m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
点评:本题考查利用导数研究函数单调性的性质,考查函数恒成立问题,考查综合法与分析法的应用,(2)中求得|x1-x2|≤3是关键,也是难点.属于难题.