Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰．

（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.

Answer 1

(1)见试题解析；（2）.

试题分析：（1）要证两直线垂直，一般通过证明其中一条直线垂直于过另一条直线的平面，这里观察已知，有PD⊥平面ABCD，则有PD⊥BC，又BC⊥CD，显然就有BC⊥平面PCD，问题得证；（2）要求点A到平面PBC的距离，由于三棱锥P－ABC的体积容易求出（底面是三角形ABC，高是PD），故可用体积法求点A到平面PBC的距离，见解法二.当然题中由于且，故A到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的2倍，从而可能先求点D到平面PBC的距离，此时直接作出垂线段即可，见解法一.
试题解析：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）体积法：连结AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰．
从而AB=2，BC=1，得的面积．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得的面积．
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于．