Question

（2012•肇庆二模）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．
（1）求△CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离．

Answer 1

分析：（1）连接DE，在△CDE中，求出∠DCE，直接利用三角形的面积公式求解即可．
（2）求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．

解答：解：（1）连接DE，在△CDE中，∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°，（1分）
S△BCD=

1

2

DC•CE•sin150o=

1

2

×sin30o=

1

2

×

1

2

=

1

4

（平方百米）         （4分）
（2）依题意知，在RT△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=1×tan60o=

3

      （5分）
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°
由正弦定理

BC

sin∠CEB

=

CE

sin∠CBE

           （6分）
得BC=

CE

sin∠CBE

•sin∠CEB=

1

sin30o

×sin45o=

2

       （7分）
∵cos15°=cos（60⁰-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°    （8分）
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

       （9分）
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB          （10分）
可得AB2=

3

2+

2

2-2

3

×

2

×

6 + 2

4

=2-

3

      （11分）
∴AB=

2- 3

（百米）                                           （12分）

点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．