【题目】已知函数 (其中 , 为常数, 为自然对数的底数).
(1)讨论函数 的单调性;
(2)设曲线 在 处的切线为 ,当 时,求直线 在 轴上截距的取值范围.
【答案】
(1)解: ,
当 时, 恒成立,函数 的递增区间是 ;
当 时, 或 .
函数 的递增区间是 , ,递减区间是
(2)解: , ,
所以直线 的方程为: .
令 得到:截距 ,记 ,
,记
(∵ ),所以 递减,
∴ ,∴ ,即 在区间 上单调递减,
∴ ,即截距的取值范围是: .
【解析】(1)求复合函数的单调性要先对函数进行求导,找到导函数的零点,再根据“导函数大于0,原函数单调递增,小于0,原函数单调递减”,进一步判断函数的单调区间。
(2)先设出切线l,再根据函数的性质确定b的取值范围。设切线时要注意直线方程的选取,已知直线上一点和其斜率,可直接设点斜式;在求b时,要注意a的取值范围。
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和复合函数单调性的判断方法,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”即可以解答此题.
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【题目】为对考生的月考成绩进行分析,某地区随机抽查了 名考生的成绩,根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图.
(1)求成绩在 的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系,必须按成绩再从这 人中用分层抽样方法抽取出 人作出进一步分析,则成绩在 的这段应抽多少人?
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【题目】如图,在等腰直角△ABO中,设 = , = ,| |=| |=1,C为AB上靠近A点的三等分点,过C作AB的垂线l,设P为垂线上任一点, = ,则 ( ﹣ )=( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.
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【题目】某人到甲、乙两市各 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图, 为圆柱 的母线, 是底面圆 的直径, 是 的中点.
(Ⅰ)问: 上是否存在点 使得 平面 ?请说明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 平面 ,假设这个圆柱是一个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果小鱼游到四棱锥 外会有被捕的危险,求小鱼被捕的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数),设 与 的交点为 ,当 变化时, 的轨迹为曲线 .
(1)写出 的普遍方程及参数方程;
(2)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线 的极坐标方程为 , 为曲线 上的动点,求点 到 的距离的最小值.
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