Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时，f（x）≥2x恒成立，
（1）求实数a，b的值．
（2）求y=f（x）在[t，t+2]上的最小值g（t）．

Answer 1

解：由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，化简得：lga-lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0对x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，得（1+lgb）²-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，只有lgb=1，不等式成立，即b=10，∴a=100．
（2）f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，
当t+2≤-2即t≤-4时，f（x）在[t，t+2]上递减，g（t）=f（t+2）=t²+8t+13；
当t＜-2＜t+2即-4＜t＜-2时，g（t）=f（-2）=-3；
当t≥-2时，f（x）在[t，t+2]上递增，g（t）=f（t）=t²+4t+1；
所以．
分析：（1）由f（-1）=-2得a，b的方程①，由f（x）≥2x即恒成立x²+xlga+lgb≥0对x∈R恒成立，得△=lg²a-4lgb≤0，消掉a得b的不等式，由此可得关于b的方程，从而得到b值，进而得到a值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，按照对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论，借助图象可得其最小值；
点评：本题考查二次函数的性质、二次函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，关于二次函数在闭区间上的最值求解，往往借助图象加以分析．