Question

在曲线C：y=x²（x≥0）上某一点A处作一切线l，l交x轴于B(

1

2

，0)，
试求：（1）切点A的坐标；
（2）曲线C与切线l以及x轴所围的图形面积S

Answer 1

分析：（1）欲求切点A的坐标，设切点为A（x₀，y₀），只须求出其斜率，再利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得切线方程．最后利用切线l交x轴于B(

1

2

，0)可使问题解决．
（2）欲求曲线C与切线l以及x轴所围的图形面积S，先将其化为：S=S_曲边△OAB-S_△CAB，最后利用不定积分求其面积即可．

解答：解：（1）设切点为A（x₀，y₀），由y'=2x，
得切线方程为y-y₀=2x₀（x-x₀）（2分）
又由y₀=x₀²可得切线方程为y=2xx₀-x₀²（3分）
令y=0得x=

x0

2

即得C点坐标为(

x0

2

，0)
由

x0

2

=

1

2

⇒x0=1∴A（1，1）（5分）
（2）所围图形面积为
S=S_曲边△OAB-S_△CAB=

∫

x0 0

x2dx-

1

2

(x0-

x0

2

)x02（8分）
=

1

3

x03-

1

4

x03=

1

12

x03=

1

12

（10分）

点评：本小题主要考查函定积分的简单应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．