Question

（2008•崇明县二模）设a_n是(3-

x

)n（n=2，3，4，5，…）展开式中x一次项系数，则

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+

34

a4

+…+

3n

an

)=

18

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为1，求出a_n，再由

3n

an

=

3n

C 2 n •3n-2

=9×

2

n(n-1)

=

18

n(n-1)

=18×(

1

n-1

-

1

n

)，能求出

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+

34

a4

+…+

3n

an

)．

解答：解：展开式的通项为 Tr+1=(-1)r3n-r

C

r n

x

r

2

令

r

2

=1得r=2
∴a_n=3^n-2C_n²．

3n

an

=

3n

C 2 n •3n-2

=9×

2

n(n-1)

=

18

n(n-1)

=18×(

1

n-1

-

1

n

)，
∴

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+

34

a4

+…+

3n

an

)
=

lim

n→∞

{18×[(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]}
=

lim

n→∞

[18×(1-

1

n

)]
=18．
故答案为：18．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查由函数解析式求函数值问题．解题时要注意裂项求和公式的合理运用．