Question

12．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式${（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}≥a$的解集为ϕ，命题q：函数$f（x）=lg（{a{x^2}+（{a-2}）x+\frac{9}{8}}）$的定义域为R，若命题p∨q为真，命题p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 运用指数函数的单调性和对数函数的定义域为R，求出p，q均为真的a的范围；再由p∨q为真，命题p∧q为假，可得p，q一真一假，即可得到a的范围．

解答 解：①若p正确，则由$0＜{（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}≤1$得a＞1，
②若q正确，则$a{x^2}+（{a-2}）x+\frac{9}{8}＞0$解集为R，
当a=0时，$-2x+\frac{9}{8}＞0$不合，舍去；
当a≠0时，则$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a-2）^{2}-\frac{9}{2}a＜0}\end{array}\right.$，
解得 $\frac{1}{2}＜a＜8$；
③若命题p∨q为真，命题p∧q为假可知：p和q中有且仅有一个正确，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{1}{2}或a≥8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a≤1}\\{\frac{1}{2}＜a＜8}\end{array}}\right.$，
∴a≥8或$\frac{1}{2}＜a≤1$．

点评 本题考查命题的真假判断，考查指数函数和对数函数的图象和性质，复合命题的真值表，考查化简整理的运算能力，属于中档题．