Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（I）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（II）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（III）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）g′（x）=3x²+2ax-1由题意3x²+2ax-1＜0的解集是
即3x²+2ax-1=0的两根分别是．
将x=1或代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x²-2x-1，∴g′（-1）=4，
∴点p（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点p（-1，1）处的切线方程为：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．（8分）
（III）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得对x∈（0，+∞）上恒成立
设，则
令h′（x）=0，得（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）
分析：（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（II）求出g（x）的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．
点评：解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．