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    【题目】已知直线是曲线的切线.

    （1）求函数的解析式，

    （2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.

    【答案】（1）（2）证明见解析

    【解析】

    （1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；

    （2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.

    （1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.

    根据题意，可得，解之得，

    所以.

    （2）由（1）可知，

    则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.

    ∵，

    ①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.

    ②若令，得有两个极值点，

    ∵，∴，∴.

    ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

    ∴极大值为.，又，

    ∴在(0，16)上单调递增，

    ∴，

    ∴有唯一零点.

    综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.

    练习册系列答案
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    【题目】某公司欲对员工饮食习惯进行一次调查，从某科室的100人中的饮食结构调查结果统计如下表.

    主食蔬菜

    主食肉类

    总计

    不超过45岁

    15

    40

    45岁以上

    20

    总计

    （1）完成列联表，并判断能否有99%的把握认为员工的饮食习惯与年龄有关？

    （2）在45岁以上员工中按照饮食习惯进行分层抽样抽出一个容量为6的样本，从这6个人中随机抽取3个人，求这3个人都主食蔬菜的概率.

    附：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    .

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    【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．

    （1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

    （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．

    x

    2.50

    1.01

    1.90

    1.22

    2.52

    2.17

    1.89

    1.96

    1.36

    2.22

    y

    0.84

    0.25

    0.98

    0.15

    0.01

    0.60

    0.59

    0.88

    0.84

    0.10

    lnx

    0.90

    0.01

    0.64

    0.20

    0.92

    0.77

    0.64

    0.67

    0.31

    0.80

    由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知函数，以下结论正确的个数为（ ）

    ①当时，函数的图象的对称中心为；

    ②当时，函数在上为单调递减函数；

    ③若函数在上不单调，则；

    ④当时，在上的最大值为15．

    A.1B.2C.3D.4

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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数，直线l：y=kx（k＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

    （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

    （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA||OB|的值．

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    【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为；

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第二象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值.

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    【题目】已知多面体的底面是边长为的菱形， 底面， ，且.

    （1）证明：平面平面；

    （2）若，求三棱锥的体积.

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    【题目】一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布（寿命单位：小时）.考虑到生产成本，电池使用寿命在内是合格产品.

    （1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；

    （2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查4节电池，记抽查电池合格的数量为，求随机变量的分布列、数学期望及方差.

    附：若随机变量服从正态分布，则，，.

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