Question

1．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|，且f（x）≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求函数g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|的解析式，利用单调性求得它的最小值，可得m的范围．
（2）由条件利用基本不等式求得函数g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x+（-2x-3）=-4x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{（1-2x）+（2x+3）=4，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x-1+2x+3=4x+2，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值为4，
故有m≤4．
（2）当m取最大值4时，求函数g（x）=2x²+$\frac{m}{x}$=2x²+$\frac{4}{x}$=2x²+$\frac{2}{x}$+$\frac{2}{x}$≥3$\root{3}{8}$=6，
当且仅当2x²=$\frac{2}{x}$时，取等号，故函数g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值为6．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．