若点(p,q),在|p|≤3,|q|≤3中按均匀分布出现.
(1)点M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点M(x,y)落在上述区域的概率?
(2)试求方程x2+2px-q2+1=0有两个实数根的概率.
【答案】
分析:(1)是古典概型,首先分析可得|p|≤3,|q|≤3整点的个数,进而分析可得点M的纵横坐标的范围,可得M的个数,由古典概型公式,计算可得答案;
(2)是几何概型,首先可得|p|≤3,|q|≤3表示正方形区域,易得其面积,进而根据方程x
2+2px-q
2+1=0有两个实数根,则有△=(2p)
2-4(-q
2+1)≥0,变形可得p
2+q
2≥1,分析可得其表示的区域即面积,由几何概型公式,计算可得答案.
解答:解:
(1)根据题意,点(p,q),在|p|≤3,|q|≤3中,即在如图的正方形区域,
其中p、q都是整数的点有6×6=36个,
点M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,即x、y都是整数,且1≤x≤3,1≤y≤3,
点M(x,y)落在上述区域有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),有9个点,
所以点M(x,y)落在上述区域的概率P
1=
;
(2)|p|≤3,|q|≤3表示如图的正方形区域,易得其面积为36;
若方程x
2+2px-q
2+1=0有两个实数根,则有△=(2p)
2-4(-q
2+1)≥0,
解可得p
2+q
2≥1,为如图所示正方形中圆以外的区域,其面积为36-π,
即方程x
2+2px-q
2+1=0有两个实数根的概率,P
2=
.
点评:本题考查几何概型、古典概型的计算,解题时注意区分两种概率的异同点.