【题目】已知函数
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若函数在定义域内是单调函数，求实数
的取值范围.
【答案】（1）递减区间是
，单调递增区间是
；（2）
.
【解析】
（1）将
代入函数
的解析式，求出函数的导数，分别解不等式
和
，可得出函数的减区间和增区间；
（2）由函数在定义域上为单调函数，可得知导函数
在定义域上没有变号的零点，并设
，然后对
分
和
两种情况讨论，结合
判断函数在区间
是否有变号的零点，从而可得出实数的取值范围.
（1）当时，
，函数的定义域为.
求导得
，
令得
，令得
，
所以，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）
，记
，
若函数在定义域内是单调函数，则导函数在定义域内没有变号零点，即函数
在没有变号的零点.
根据二次函数的性质，时，
，
，一定有正根
，
在区间
上
，，函数单调递减，
在区间
上
，，函数单调递增，不合题意；
当时，若
，
此时，函数在定义域内是单调减函数，符合题意；
若
，此时有
，
，
则函数有两个不相等的正根，函数有
个极值点，不是单调函数.
综上所述，若函数在定义域内是单调函数，求实数的取值范围是.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）已知点
，且直线和曲线交于
两点，求
的值
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，曲线
(α为参数)经过伸缩变换
得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C2的普通方程；
(2)设曲线C3的极坐标方程为
，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1，0)，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，射线
的方程为
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的方程为
.一只小虫从点
沿射线向上以
单位/min的速度爬行
（1）以小虫爬行时间
为参数，写出射线的参数方程；
（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.
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【题目】设有二元关系
，已知曲线
.
（1）若
时，正方形
的四个顶点均在曲线
上，求正方形的面积；
（2）设曲线与
轴的交点是
，抛物线
与
轴的交点是
，直线
与曲线
交于
，直线
与曲线交于
，求证直线
过定点，并求该定点的坐标；
（3）设曲线与轴的交点是
，
，可知动点
在某确定的曲线
上运动，曲线上与上述曲线在
时共有4个交点，其坐标分别是
、
、
、
，集合
的所有非空子集设为
，将
中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数
，求所有正整数
的值，使得
是一个与变数
及变数
均无关的常数.
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【题目】某社区
名居民参加
年国庆活动，他们的年龄在
岁至
岁之间，将年龄按
、
、
、
、
分组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求
的值，并求该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；
（2）现从年龄在、的人员中按分层抽样的方法抽取
人，再从这人中随机抽取
人进行座谈，用
表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地岁至岁之间的市民中抽取
名进行调查，其中有
名市民的年龄在
的概率为
，当
最大时，求的值.
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【题目】已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为_____．
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【题目】在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；
②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；
③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；
④已知复数
满足
，则在复平面内所对应的点位于第四象限.
其中说法正确的个数为（ ）
A.
B.
C.
D.
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