Question

【题目】已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

Answer 1

【答案】D

【解析】

对函数求导得到函数的极值点进而得到a＞e，①不正确，先由函数单调性得到④正确，再推断②③的正误.

对函数求导：当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0在x∈R上恒成立，

∴f（x）在R上单调递增．

当a＞0时，∵f′（x）＝ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，

∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．

∵函数f（x）＝ex﹣ax有两个零点x1＜x2，

∴f（lna）＜0，a＞e，

∴elna﹣alna＜0，∴a＞e，①不正确；

函数的极小值点为

要证，只要证

因为函数f（x）在（﹣∞，）单调递减，故只需要证

构造函数

求导得到

所以函数单调递增，恒成立，

即，故得到

进而得证：，.故④正确.

又因为

根据，可得到.③不正确.

因为故②不确定.综上正确的只有一个.

故答案为：D.