Question

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段

.

AC

所成的比为

8

11

，双曲线过C、D、E
三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．

Answer 1

分析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，设出A、B、C的坐标，利用点E分有向线段

.

AC

所成的比为

8

11

，|AB|=2|CD|，求出E的坐标，结合双曲线方程，求出关于e的表达式，即可得到e的值．

解答：解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．（2分）
依题意，记A（-c，0），C（

c

2

，h），B（c，0），
其中c为双曲线的半焦距，c=

1

2

|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为xE=

-c+ 8 11 × c 2

1+ 8 11

=-

7

19

c，yE=

0+ 8 11 ×h

1+ 8 11

=

8

19

h．（5分）
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则离心率e=

c

a

．
由点C、E在双曲线上，
得

1 4 • c2 a2 - h2 b2 =1 49 361 • c2 a2 - 64 361 • h2 b2 =1.

（10分）
解得

h2

b2

=

1

4

•

c2

a2

-1，化简可得

c2

a2

=9，
所以，离心率e=

c2 a2

=3（14分）

点评：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．