Question

16．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若f（4）=6，解不等式f（3x²-x-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）可令x=y=0，从而得出f（0）=0，然后令y=-x，从而可以得到f（-x）=-f（x），这便证出f（x）为奇函数；
（2）可看出f（x）在R上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据条件可得到f（x₂-x₁）＞0，进一步便可得出f（x₂）-f（x₁）＞0，从而得出f（x₁）＜f（x₂），这样即可得到f（x）在R上为增函数；
（3）由f（4）=6便可得到f（2）=3，根据（2）得出的f（x）在R上为增函数，从而由原不等式得3x²-x-2＜2，解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0；
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0；
∴f（-x）=-f（x）；
∴f（x）是奇函数；
（2）f（x）是R上的增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
x₂-x₁＞0；
∵x＞0时，f（x）＞0；
∴f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）＞f（x₁）；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是R上的增函数；
（3）∵f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=6；
∴f（2）=3；
∴由不等式f（3x²-x-2）＜3得，f（3x²-x-2）＜f（2）；
又由（2）知：f（x）是R上的增函数；
∴3x²-x-2＜2；
解得$-1＜x＜\frac{4}{3}$；
∴不等式的解集是$（-1，\frac{4}{3}）$．

点评 考查奇函数的定义及判断方法，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），解一元二次不等式．