Question

14．已知函数f（x）=（ax-5）cosx-asinx（0≤x≤π），其中a为正实数．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在[0，π]上的零点个数．
（Ⅱ）对于定义域内的任意x₁，x₂，将|f（x₁）-f（x₂）|的最大值记作g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x-5）cosx-sinx，从而化简可得x-5=tanx，作函数y=x-5与函数y=tanx在[0，π]上的图象，从而确定零点的个数；
（Ⅱ）求导f′（x）=-（ax-5）sinx，分类讨论以确定函数的单调性，从而求函数的最值，从而求|f（x₁）-f（x₂）|的最大值g（a）即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x-5）cosx-sinx，
令（x-5）cosx-sinx=0得x-5=tanx，
作函数y=x-5与函数y=tanx在[0，π]上的图象如下，

故f（x）在[0，π]上有且只有一个零点；
（Ⅱ）∵f（x）=（ax-5）cosx-asinx，
∴f′（x）=acosx-（ax-5）sinx-acosx
=-（ax-5）sinx，
当πa-5≤0，即a≤$\frac{5}{π}$时，f′（x）＞0在（0，π）上恒成立；
故f（x）=（ax-5）cosx-asinx在[0，π]上是增函数，
而f_min（x）=f（0）=-5cos0=-5，f_max（x）=f（π）=（aπ-5）cosπ-asinπ=5-aπ，
故g（a）=5-aπ-（-5）=10-aπ．
当a＞$\frac{5}{π}$时，由导数知f（x）=（ax-5）cosx-asinx在[0，$\frac{5}{a}$）上是增函数，在（$\frac{5}{a}$，π]上是减函数，
故f_max（x）=f（$\frac{5}{a}$）=-asin$\frac{5}{a}$，
f（0）=-5，f（π）=5-aπ，
当$\frac{5}{π}$＜a≤$\frac{10}{π}$时，f（π）-f（0）=10-aπ≥0，
故f_min（x）=f（0）=-5，
故g（a）=-asin$\frac{5}{a}$-（-5）=5-asin$\frac{5}{a}$；
当a＞$\frac{10}{π}$时，
f_min（x）=f（π）=5-aπ，
故g（a）=-asin$\frac{5}{a}$-（5-aπ）=aπ-5-asin$\frac{5}{a}$；
综上所述，
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{10-aπ，a≤\frac{5}{π}}\\{5-asin\frac{5}{a}，\frac{5}{π}＜a≤\frac{10}{π}}\\{aπ-5-asin\frac{5}{a}，a＞\frac{10}{π}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数形结合的思想及分类讨论的思想，同时考查了导数的综合应用，属于难题．