Question

“x=2kπ+（k∈Z）”是“函数f（x）=sinx•cosx在x处取得最大值”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：当x=2kπ+（k∈Z）时，得到函数f（x₀ ）=，是最大值，故充分性成立．当函数f（x）在x处取得最大值时，解得x₀ =kπ+，k∈z．故此时x不一定是2kπ+（k∈Z），故必要性不成立，由此得出结论．
解答：解：当x=2kπ+（k∈Z）时，函数f（x₀ ）=sinx•cosx=sin2x₀ =sin2（2kπ+）=，
是函数f（x）=sinx•cosx的一个最大值，故函数f（x）=sinx•cosx在x处取得最大值，故充分性成立．
当函数f（x）=sinx•cosx=sin2x 在x处取得最大值时，2 x₀ =2kπ+，k∈z．
解得 x₀ =kπ+，k∈z．故此时x不一定是2kπ+（k∈Z），故必要性不成立．
故选A．
点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域、二倍角公式，以及充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．