Question

（文）已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的反函数的图象经过点A（4，1）和B（16，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式（

1

a

）^2x+b^1-x-|m-1|≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（x）经过点（1，4），（3，16），代入可求a，b
（2）由(

1

2

)2x+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立?[(

1

2

)2x+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，可求m的范围

解答：解：（Ⅰ）∵f^-1（x）的图象经过点A（4，1）和B（16，3）．
∴f（x）经过点（1，4），（3，16）
∴

ab=4 ba3=16

∴a=b=2，f（x）=2^x+1
∵（

1

a

）^2x+b^1-x-|m-1|≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，
∴不等式(

1

2

)2x+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立，
[(

1

2

)2x+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，…（8分）
设t=(

1

2

)x，g（t）=t²+2t
∵x≤1
∴t≥

1

2

∴g（t）_min=g（

1

2

）=

5

4

∴|m-1≤

5

4

∴-

1

4

≤m≤

9

4

值范围是[-

1

4

，

9

4

]…（12分）

点评：本题主要考查了互为反函数的图象对称关系的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．