Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x|1-m≤x≤1+m}
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于x∈P是x∈S的充要条件，则集合P与集合S相等；
（2）由于x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P．再结合集合关系求出实数m即可．

解答：解：由于P={x|x²-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}，
（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，
则P=S，即

1-m=-2 1+m=10

，
而此方程组无解，
则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件；
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P，
①当S=φ时，1-m＞1+m，即m＜0满足题意；
②当S≠φ时，则1-m≤1+m，得m≥0，
要使S⊆P，即有

1-m≥-2 1+m≤10

，得m≤3，
即得0≤m≤3，
综上可得，当实数m≤3时，使x∈P是x∈S的必要条件．

点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，
①若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．