Question

【题目】如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1'分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．

（1）求三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和；

（2）求直线AQ与平面BCC1B1所成角的正弦值；

（3）求三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r．

Answer 1

【答案】（1）体积之和为20.（2） .（3）.

【解析】试题分析：（1）在图1中，∵△PAB，△ACQ是等腰直角三角形，∴PB=3，CQ=7，∵AB=3，BC=4，AC=12﹣3﹣4=5，∴AB⊥BC，∴B到AC的距离d=，分别计算VP﹣ABC，VQ﹣PAC得出结论；（2）连接BQ，∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴∠AQB是直线AQ与平面BCC1B1所成角；（3）取AQ中点M，∵△ABQ和△ACQ是直角三角形，∴MA=MB=MC=MQ，∴三棱锥Q﹣ABC的外接球球心为M，从而得出外接球半径．

试题解析：

（1）在图1中，∵△PAB，△ACQ是等腰直角三角形，

∴PB=3，CQ=7，

∵AB=3，BC=4，AC=12﹣3﹣4=5，

∴AB⊥BC，

∴B到AC的距离d==．

∴VP﹣ABC===6，

VQ﹣PAC=VP﹣QAC===14，

∴三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和为6+14=20．

（2）连接BQ，

∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，

又AB⊥BC，BC∩BB1=B，

∴AB⊥平面BCC1B1，

∴∠AQB是直线AQ与平面BCC1B1所成角．

∵AQ==，

∴sin∠AQB==．

（3）设AQ的中点为M，

∵△ABQ和△ACQ是直角三角形，

∴MA=MB=MC=MQ，

∴三棱锥Q﹣ABC的外接球球心为M．

∴三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r=AQ=．