Question

11．设α、β都是锐角，且cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，则cosβ等于（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$
• B． $\frac{8\sqrt{2}+3}{15}$
• C． $\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$或$\frac{8\sqrt{2}+3}{15}$
• D． .以上都不对

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α、β都是锐角，且cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴α＞$\frac{π}{3}$，α+β为钝角，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{3}{5}$•$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．