Question

已知f(x)=

x+2(x≤-2) x2+2x(-2＜x＜1) 2x-1(x≥1)

（1）作出该函数的图象，并指出其单调区间；
（2）求f（f（-3））的值；
（3）若f（a）=3，求实数a的值；
（4）若f（m）＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别画出分段函数的图象，如图所示，由图象可得出单调递增及递减区间；
（2）当x=-3时，f（x）=x+2，确定出f（-3）的值为-1，而-1大于-2小于1，得到此时f（x）=x²+2x，将x=-1代入即可求出所求式子的值；
（3）由f（a）=3，根据函数图象得到2a-1=3，即可求出a的值；
（4）分三种情况考虑：当m小于等于-2时，m大于-2小于1时，m大于等于1时，分别由确定出f（m），代入所求不等式中，求出m的范围即可．

解答：解：（1）图象如右，
它的单调增区间是（-∞，-2]，[-1，1），[1，+∞）；
它的单调减区间是（-2，-1）；
（2）∵-3＜-2，∴f（-3）=-3+2=-1；
∵-2＜-1＜1，∴f（f（-3））=f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1；
（3）∵f（a）=3，∴2a-1=3，
解得：a=2；
（4）当m≤-2时，f（m）=m+2＞m恒成立；
当-2＜m＜1时，f（x）=m²+2m＞m，
解得：m＞0或m＜-1，
此时m的范围为：-2＜m＜-1或0＜m＜1；
当m≥1时，f（m）=2m-1＞m，
解得：m＞1，
综上，实数m的取值范围为：m＜-1或0＜m＜1或m＞1．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道高考中常考的基本题型．