Question

18．如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M是线段PC的中点．
（1）求证：向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MD}$共面；
（2）求证：向量$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$不共面；
（3）若向量$\overrightarrow{PD}$=x$\overrightarrow{MA}$+y$\overrightarrow{MB}$+z$\overrightarrow{MC}$，求x，y，z的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MD}$表示出$\overrightarrow{PA}$即可；
（2）证明M，A，B，C不共面；
（3）用$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MC}$表示出$\overrightarrow{PD}$，求出x，y，z．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD中点，
∴$\overrightarrow{MO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MD}$，
∵M是线段PC的中点，∴$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{MO}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$，
∴向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MD}$共面．
（2）∵M，A，B，C不在同一平面内，∴向量$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$不共面．
（3）取CD中点E，连结ME，OE，则$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{ME}$=2（$\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OE}$）=2$\overrightarrow{MO}$+2$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}$+（$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}$）=$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$．
∴x=1，y=-1，z=2，∴x+y+z=2．

点评 本题考查了平面向量的基本定理及其意义，用向量表示其他向量是关键．